Решение уравнений методом половинного деления.

Эта тема выносится на рубежный контроль и в экзаменационные вопросы.

Дано уравнение

Необходимо найти его корень с точностью до 4 знаков после запятой.

Как бы мы вычисляли корень вручную:

Оцениваем, что корень уравнения лежит между нулём и десятью, (т.к. и ). Значит 0<х<10. Находим середину интервала: (10+0)/2=5 и подставляем пятёрку в уравнение вместо х.

. Значит 0<х<5. Опять находим середину: (0+5)/2=2,5 и пробуем:

. Значит 0<х<2,5. Снова находим середину: (0+2,5)/2=1,25 и подставляем

. Т.к. теперь знак <, то двигается левая граница промежутка и 1,25<х<2,5. Теперь подставляем в равнение число (1,25+2,5)/2=1,875

и 1,25<х<1,875. Далее будем получать такие промежутки:

1,5625<х<1,875

1,5625<х<1,7188

1,6407<х<1,7188

1,6798<х<1,7188

1,6798<х<1,6993

1,6798<х<1,6896

1,6847<х<1,6896

1,6872<х<1,6896

1,6872<х<1,6884

1,6878<х<1,6884

1,6878<х<1,6881

1,6878<х<1,6880

1,6879<х<1,6880

Следовательно, x=1,6879….

Теперь запишем наше решение в виде алгоритма.

1. Нужно найти два числа (А и В) такие, чтобы корень уравнения находился между ними. Эти числа будет вводить пользователь.
2. Нужно определить, неравенство с каким знаком (больше или меньше) получится из уравнения, если в него подставить число А (пусть это будет переменная Z, она будет равна -1 при знаке < и 1 – при знаке >)
3. Нужно найти точку С, середину отрезка [A;B] по формуле C=(A+B)/2 и подставить его в уравнение.
4. Если знак получившегося неравенства будет таким же, как и при подстановке в него числа А, то корень находится на промежутке [C;B], в противном случае корень – на промежутке [A;C]. Значит, в первом случае левая граница промежутка становится равной С: А, а во втором – правая: В=С
5. Если разность B-A больше требуемой точности (для четырёх знаков после запятой это 0,0001), то перейти к пункту 3 алгоритма, иначе – вывести решение.

Теперь можно писать программу

10 PRINT “RESHAEM URAVNENIJE X^3+9X=20”

20 PRINT “VVEDITE LEVUJU GRANICU PROMEZHUTKA”

30 INPUT A

40 PRINT “VVEDITE PRAVUJU GRANICU PROMEZHUTKA”

50 INPUT B

60 IF A^3+9*A>20 THEN Z=1 ELSE Z=-1

70 C=(A+B)/2

80 Y=C^3+9*C

90 IF (Y-20)*Z>0 THEN A=С ELSE B=C

100 PRINT A;”<х<”;B

110 IF (B-A)>0.0001 THEN GOTO 70

120 PRINT “X=”;(A+B)/2

Пояснения:

Строки 10-50 – ввод краёв интервала, где находится корень уравнения (п.1. алгоритма)

Строка 60 – находим знак неравенства в левом краю промежутка (п.2. алгоритма)

Строка 70 – находим середину отрезка

Строка 80 – подставляем это значение в уравнение (п.3. алгоритма)

Строка 90 – когда выражение (Y-20)*Z будет больше нуля? Тогда, когда Y>20 и Z=1 и когда Y<20 и Z=-1, т.е. тогда, когда знак неравенства при подстановке в него числа С такой же, как и при подстановке числа А. Это и требовалось в п.4. алгоритма

Строка 100 – выпечатываем, каким путём мы подбираемся к корню

Строка 110 – проверка, не получена ли уже требуемая точность (п.5 алгоритма)

120 – печатаем результат, ещё раз усреднив промежуток.

Для того, чтобы программа решала другое уравнение с другой точностью, нужно внести изменения в строки 10, 60, 80, 90 и 110

Задания для самостоятельной работы

№	уравнение	точность
1	x-10sinx=15	5 знаков после запятой
2	x+2cosx=3	3 знака после запятой
3		4 знака после запятой

Скачать GWBASIC

P.S. По научному метод половинного деления называется «дихотомия», так что выполнив работу вы с полным правом можете употреблять это мудрёное слово :)