Системы счисления

Мы для записи чисел используем десятичную систему счисления. Каждая из 10 цифр (от 0 до 9) означает количество вхождений в число соответстсвуюей степени десятк.

К примеру, запись 1492 означает: 1 тысяча, 4 сотни, 9 десятков и 2 единицы.

1492=2*10⁰+9*10¹+4*10²+1*10³

Память компьютера устроена так, что каждая её ячейка может находиться только в двух состояниях: ток есть или тока нет. Поэтому для хранения чисел впамяти компьютера используется система записи чисел только цифрами 0 и 1 – двоичная система счисления. При этом каждой цифре соответствует не степень десятки, как у нас, а степень двойки.

Чтобы перевести число из двоичной в десятичную систему счисления в десятичную, нужно каждый его разряд умножить на соответстсвующую степень двойки, и сложить результаты.

Пример:

Число (1001011)₂ = 1*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³+0*2⁴+0*2⁵+1*2⁶ = 1+2+8+64=(75)₁₀

Число (10011010)₂ = 0*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³+1*2⁴+0*2⁵+0*2⁶+1*2⁷ = 2+8+16+128=(154)₁₀

Составим алгоритм перевода чисел из двоичной системы в десятичную.

Нам понадобятся следующие переменные:

N – то число, которое будем переводить

K – последняя цифра числа N

D – номер текущего шага (он будет определять, на какую степень двойки будем умножать)

S – результат перевода числа в десятичную систему

Запишем непосредственно шаги лагоритма.

Пункт 1. Попросить ввести число N // Ведь если не узнать, что за число мы переводим, работа не имеет смысла

Пункт 2. D=0 и S=0 // Это мы инициализируем переменные (присваиваем им начальные значения). Т.к. шагов ещё не было сделано нисколько, и результат ещё не получен, то D и S будут равны нулю.

Пункт 3. Находим K, последнюю цифру числа N

Пункт 4. Увеличиваем число сделанных шагов

Пункт 5. Добавляем к результату S величину K*2^D-1 //2 возводится в степень D-1, т.ек. на первом шагу мы 2 возводим в нулевую степень, на 2м шагу – в первую, и т.д.

Пункт 6. Отбрасываем послеДнюю цифру числа N // Действительно, она ведь уже отработала и нам больше не нужна.

Пункт 7. Если в числе N ещё остались цифры, то возвращаемся к п.3 алгоритма.

Пункт 8. Напечатать число S

Соответстсвующая программа на Бейсике выглядит так:

Просим человека ввести число

10 PRINT “VVEDITE 4ISLO”

Запоминем его в памяти

20 INPUT N

Задаём начальные значения для D и S

30 D=0: S=0

Эта строка находит последнюю цифру числа N. Выражение INT(N/10) даёт число N с отброшенной последней цифрой, 10*INT(N/10) – число, в котором все цифры такие же, как и у N, только на последнем месте стоит 0. соответственно, разность N-10*INT(N/10) оставит только последнюю цифру числа N

40 K=N-10*INT(N/10)

Увеличиваем на 1 счётчик шагов

50 D=D+1

Добавляем результат произведение последней цифры на соответстсвующую степень двойки.

60 S=S+K*2^(D-1)

Теперь отбрасываем последнюю цифру числа N

70 N=INT(N/10)

Если в N ещё остались цифры, возвращаемся к шагу 3 алгоритма, который находится у нас в 40 строке.

80 IF N<>0 THEN GOTO 40

90 PRINT S

Задания:

С помощью этой программы переведите в десятичную систему числа 10011, 1110001, 1100100.

Составьте таблицу изменения значений переменных в случае, если пользователь ввёл число 10101

Ка изменить эту программу, чтобы она перевеодила в десятичную систему числа, записанные с троичной системе? (Троичная система использует только цифры 0, 1 и 2, и разряды в неё умножаются на степени тройки)

Теперь решим обратную задачу: перевод числа, записанного в десятичной системе счисления – в двоичную.

Допустим, нам дано число 1492. Делим его на 2 с остатком:

1492:2 = 746 (остаток 0)

Будем продолжать делить число на 2

746:2 = 373 (остаток 0)

373:2 = 186 (остаток 1)

186:2 = 93 (остаток 0)

93:2 = 46 (остаток 1)

46:2 = 23 (остаток 0)

23:2 = 11 (остаток 1)

11:2 = 5 (остаток 1)

5:2 = 2 (остаток 1)

2:2 = 1 (остаток 0)

1:2 = 0 (остаток 1)

Теперь запишем эти остатки, начиная с последнего, и заканчивая первым:

(1492)₁₀=(10111010100)₂

Можем проверить:

(10111010100)₂ = 1*4+1*16+1*64+1*128+1*256+1*1024=(1492)₁₀

Таким образом, вырисовывается алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Нам понадобятся переменные:

N – число, которе нужно перевести

R – остаток от деления N на 2

D – номер текущего шага

S – результат перевода

Будем его писать алгоритм параллельно с программой.

Пункт 1. Ввести чсло N

10 PRINT “VVEDITE 4ISLO”

20 INPUT N

Пункт 2. Задаём начальные значения переменных

30 S=0: D=0:

Пункт 3. Находим остаток от деления числа N на 2

40 R = N – 2*INT(N/2)

Пункт 4. Увеличиваем номер текущего шага

50 D = D+1

Пункт 5. Добавляем к результату новый остаток

60 S = S+R*10^(D-1)

Пункт 6. Вместо N рассматриваем его неполное ачастное от деления на 2

70 N = INT(N/2)

Пункт 7 Если в N ещё остались цифры, возвращаемся к п.3

80 IF N<>0 THEN GOTO 40

Выводим на экран S

90 PRINT S

Задания:

Найти с помощью программы двоичные представления числе 1024, 256, 123.

Составьте таблицу изменения значений переменных в случае, если пользователь ввёл число 35.

Измените программу так, чтобы она выдала список двоичных записей всех числе от 1 до 32.

Измените программу так, чтобы она перводила числа не в двоичную, а в тоичную систему счисления.

Решения должны быть в конспекте, также высылайте их на почту aviglau@gmail.com