Олимпиадные задания

Задания можно решить дома и принести мне или Сергею Тихоновичу до конца этой недели на листочке.

1. Программа может выполнять команды рисования прямоугольников произвольного цвета. С помощью какого наименьшего количества команд она можно нарисовать красно-белую шахматную доску?

2. Сколькими способами число 2011 можно представить в виде разности квадратов натуральных чисел?

3. Составьте алгоритм и программу, которая по введённой дате (число, месяц, год) определял, сколько дней осталось до следующего Нового года.

4. На столе лежит N спичек. Петя и Вася поочерёдно берут оттуда от 1 до 5 спичек, однако нельзя повторять число, взятое соперником на предыдущем ходу. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку или лишает соперника возможности сделать ход согласно правилам. Начинает Петя, своим первым ходом может взять любое количество от 1 до 5. Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Вася.

5. В доме 36 комнат. В каждой комнате лежит определённая сумма денег (указана в таблице). В дом можно зайти через одну из шести дверей с северной стороны, пройти через 6 комнат, двигаясь только прямо или по диагонали, и выйти через одну из шести дверей с южной стороны. Как организовать свой маршрут, чтобы собрать максимальное количество денег? В примере, показанном на рисунке, итоговая сумма составит 27 долларов. Как  увеличить эту сумму?

 a.

1	3	5	1	1	2
4	5	7	6	2	7
2	4	0	2	8	10
2	1	12	5	4	3
4	3	9	0	14	7
16	10	5	11	8	6

b

23	61	71	87	70	61
5	57	85	63	22	10
91	78	47	35	13	11
94	85	34	23	79	77
80	0	39	70	47	40
33	95	73	83	85	5